极限的概念、性质存在准则以填空选择、证明题的考法为主，是重难点

于数列极限而言，n是大于0的正整数，回忆严格定义式

几何推导结论常用，设极限为A，B小于A，C大于A，那么必然有N，当n>N时,X>b或X<c

很容易理解数列无限项值均小于C，必有有限项值大于B

收敛数列必有界，收敛意味着有极限，有极限意味着无穷项都落在区间内，有限项必能有界，那么数列总体必有界

数列极限与前面有多少有限项无关的理解，应用举例即为单调有界数列必有极限

因而若想要说明数列必有极限，去除前不符合单调的有限项，保留后单调数列无穷项即可

N1、N2不符合，后面N3、N4、N5….NN…符合即可

部分列和整体的关系，部分列的合集是整体，且部分列均有极限且相等则整体有极限

若不相等则整体无极限

整体有极限，那么部分必然有极限且与整体极限相同，这是一般推特殊

证明题，根据给出的条件写出极限的严格定义基本就完成了一半，再后续是不等式证明

不等式以高中不等式为基础，回忆初等不等式

多元函数极限中常用的推导结论回忆，其有助于多元函数放缩(主要用于去除正负

函数极限和数列极限的关系，是一般与特殊的关系，回忆极限几何表达

函数的极限与数列略有不同，在于数列下标只能是正整数，而函数是定义域内任意实数

因而实际上可以通过推导数列对应函数极限求得数列极限(一般推特殊，两者相等

但无法由数列极限推导函数极限，因为那就变成了特殊推一般(一个正整一个任意实数

类似应用，数列极限无法使用洛必达法则，但可采用其函数表达式利用洛必达求极限

自变量趋向无穷大时的极限，正极限和负极限若均存在且相等那么有极限(|x|->∞时)

反之亦然，若存在|x|->∞，那么必有正无穷极限和负无穷极限且均相等，否则没极限

此处例题，遇到声明x->∞时实际上需要讨论两种情况，而于数列则不必要

因为数列约定为n，函数约定为x，n的范围只是正整数，而x的范围是任意实数

因而n只能趋向于正无穷，而x可以趋向于正、负无穷两个方向

自变量趋向于有限值时函数的极限，注意严格表达式中X-X0不为0，面对的是去心领域

因而X0有无定义均无关，且函数趋向于该点的极限也与这一点的函数值无关，重点

日常书写为当X->X0时F(X)->A，但实际上X不能等于X0，而F(X)则可以等于甚至恒等

注意细节即为X->X0且X!=X0是使用一般极限式的先决前提，这样才能去利用推导

有限值时函数趋向的左极限、右极限均存在且相等则有极限，充分必要条件

分左右处理极限的情况共三种，分界点极限，两侧函数表达式不同、e^∞、arctan∞

e^+∞=+∞，e^-∞=1，arctan+∞=Π/2，arctan-∞=-Π/2，分左右就会出正负问题

简单而言就是看到e^∞、arctan∞就要想到这个事情

极限性质有唯一性、有界性、保号性，对数列和函数而言极限若有则只有一个

收敛数列必有界，有界数列不一定收敛(反例、无界数列必发散、发散数列不一定无界

发散即为无极限，重点在理解不在记忆概念，考察往往以反向逆向问概念方式

函数存在极限，那么均落点于一个范围区间内，因而自然在极限去心领域内有界

但在某一去心领域有界并不能说明函数存在极限，典型如sin1/x(本函数是经典案例

数列、函数保号性，题目较多

极限推导有限项保号，因为极限大于0，那么必然存在无穷项落在A-x到A+x的范围内

因而当A>0或A<0时，存在N>0，当n>N时，Xn>0或Xn<0结论成立(用严格不等号

为何A=0不成立，因为当A=0时，极限虽然是0，但项却可以正负跳跃如(-1)^n/n

即当A>=0时就无法保证Xn的恒大于0，因而结论就无法成立

但若在原基础上谈Xn>=0，那是完全可行的，因为Xn>=0必然包括了Xn>0

有限项推导极限保号，如果存在N>0，当n大于N时，Xn>=0或Xn<=0，则A>=0或A<=0

同理当Xn>0成立时，那么A>=0肯定是成立的，因为Xn>=0就包含了Xn>0的情况

但当Xn>=0时，A是必然需要给定A>=0的区间的，因为可能存在1/n这类数列，极限为0

在条件之下，结论必然需要包括当下所有的可能性才能被称为正确的推导

函数保号的内容和数列保号一致，无非将后无穷项换为了X0的去心邻域

极限大于0，那么去心邻域内的值必然也有大于0的，只要足够小即可

去心邻域内的值都大于等于0，那么最终的极限值也必然大于等于0，注意等号(1/n

例题，由于(x-a)恒大于0，那么只能是f(x)-f(a)小于0，并且左右极限存在相等

那么只能是，f(a)的位置取到极大值

该例题衍生排除法的运用，题内出现一般函数只给出特征不给出表达式时

可以应用凑函数表达式的方式进行选项的排除，找特例即可

极限的存在准则以考察数列为主，函数也有相对应的极限存在准则

放缩法，首先估计极限，再决定放缩的大小，最终两边取极限得到相同数值即完成

不必完全有等号或者不等号，只要两边一致性即可，往往用于求数列和的方式

单调有界数列必有极限，有界而不用有上下界的原因是第一项即为上界或者下界

单调有界往往用于求递推式，但任何给出表达式的数列必然可以构造递推式应用求解

但一般应用而言，需要先证明数列单调、有界，有极限，然后再去考虑两边求极限

设limXn=a，那么limXn+1=a，而最终的表达式类似于Xn+1=Xn*a(x)

两边取极限即为a=a*C，至于能否拆成limXn limXn+1 lima(x)，各有极限即可拆分相乘

有限项和的极限等于极限的和，无穷项不行(常见于数列和，计算问题+1

无穷小量分高阶、低阶、同阶、等价、k阶，回忆即可

例题，因为sinx与x在x->0时等阶，sina(x)与x计算出同阶且a(x)->0时，a(x)与x同阶

此例题较好，建议多次品尝

0+0=0，0*0=0，无穷小乘有界函数仍是无穷小，经典案例xsin1/x，对此类无法按照正常方法求极限的

可以应用无穷小乘有界函数仍为无穷小的方法求解，分裂单独求极限相乘求极限只应用于各部分均有极限情况

无穷大量需要阐明最核心的问题，无穷大包括了正无穷和负无穷，趋向无穷有两种情况，很容易忽视

无穷大量的常见比较回忆，数列、函数

无穷大之和不一定为无穷大，正是因为无穷具有正负两种可能性(观念问题

性质：∞*∞=∞，∞+f(x)=∞

无穷大量、无界变量，无穷大量是恒有|Xn|>M，而无界变量是存在|Xn|>M

x*(-1)^x是无穷大量(注意绝对值），sin1/n是无界变量，这里仅谈论数列未谈论函数

当f(x)->0但f(x)!=0时，才能说1/f(x)是无穷大，否则绝对不成立(易错

考察极限概念、性质、存在准则以证明、选择为主

比较定义判断充分、必要等条件性质，比较严格定义判断包含范围，能否互推定义

部分列不完整构成原列无法推导原列，经典案例sin1/x是一个震荡函数(极易错，有界无极限，1/x*sin1/x则是无界变量非无穷变量